In diesem Abschnitt führen wir dieselbe Simulation wie vorher für den Anteilswert für das arithmetische Mittel durch, und zwar für unterschiedliche Verteilungsformen des untersuchten Merkmales in der Population.

Dazu wurden wiederum am Computer fiktive Daten erstellt, welche unterschiedliche Verteilungsformen des Merkmales darstellen. Es wurde jeweils eine Modellpopulation von N = 100'000 erstellt. Betrachten Sie sich zuächst die unterschiedlichen Verteilungen des Merkmales in der Population.

Nun ziehen wir wiederum für jede Population jeweils 1'000 Zufallsstichproben vom Umfang n = 500 und berechnen für jede einzelne Stichprobe das arithemetische Mittel. So erhält man unterschiedliche Verteilungen der entsprechenden Stichprobenmittelwerte. Diese finden Sie in der unteren Grafik dargestellt.

Beachten Sie insbesondere, dass alle vier Stichprobenmittelwertverteilungen jeweils annähernd eine Normalverteilung aufweisen, und zwar erstaunlicherweise praktisch unabhängig von der Verteilungsform des Merkmales in der Population. Zudem gilt auch hier, dass die Verteilung der Stichprobenmittelwerte um den tatsächlichen Populationsmittelwert zentriert ist.

Diese Beobachtung führt uns nun zur Formulierung einer der bekanntesten und wichtigsten Gesetzmässigkeiten der Statistik.